2005. szeptember 27.

1. Számítsd ki a
   $$x-2=\frac{-y+3}{2}=z-4\textrm{ és } x+1=\frac{y+7}{3}=-z+5$$
   egyenesek metszéspontját!
2. Számítsd ki a $P(2,1,1)$ pont $x+y-z+1=0$ síktól való távolságát!
3. Oldjuk meg a következő egyenletet.
   $$\frac{x-1974}{30}+\frac{x-1976}{28}+\frac{x-1978}{26}+\frac{x-1980}{24}= \frac{x-30}{1974}+\frac{x-28}{1976}+\frac{x-26}{1978}+\frac{x-24}{1980}$$

4. Határozzuk meg a $(2,0,0),(0,-1,0),(0,0,5)$ pontokra illesztett sík egyenletét.
5. A $z$ paraméter mely értékei mellett merőleges a $(5,-3,2)$ és $(7,4,z)$ vektor egymásra?
6. Döntsük el, hogy a valós együtthatós polinomok alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e a szokásos műveletekkel.
   1. $\{f\vert \deg f=100\textrm{ vagy } f=0\}$;
   2. $\{f\vert \deg f\le 100\textrm{ vagy } f=0\}$;
   3. $\{f\vert \deg f\ge 100\textrm{ vagy } f=0\}$;
   4. $\{f\vert f(5)=0\};$
   5. $\{f\vert f(5)=1\}$;
   6. $\{f\vert f \textrm{ minden együtthatója racionális}\}.$
7. Legyen $V=\mathbb{Z}$ a szokásos összeadással, és $T=\mathbb{Q}$. Lehet-e a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni, hogy vektorteret kapjunk?
8. Legyen $V$ vektortér, $W$ pedig egy nem-triviális altere. Melyek igazak az alábbi állítások közül ( $\underline{u},\underline{v}\in V, \lambda\in\mathbb{R}$)?
   1. $\underline{u}+\underline{v}\in W\Longrightarrow \underline{u},\underline{v}\in W$;
   2. $\lambda\not=0,\lambda\underline{u}\in W\Longrightarrow \underline{u}\in W$;
   3. $\underline{u}\in W,\underline{v}\not\in W\Longrightarrow \underline{u}+\underline{v}\not\in W$.
9. Legyen $W$ a $V$ vektortér egy altere, $\underline{u},\underline{v},\underline{w}\in V$, továbbá tegyük fel, hogy
   $$\underline{u}+\underline{v}\in W, \underline{u}+2\underline{w}\not\in W,\ \underline{w}+3\underline{u}\in W.$$
   Mit állíthatunk az $5\underline{u}+3\underline{v}+\underline{w}$, illetve $6\underline{u}+3\underline{v}+\underline{w}$ vektorok és $W$ kapcsolatáról?
10. (*) Bizonyítsuk be, hogy a (valós test feletti) $V$ vektortér nem állítható elő véges sok valódi alterének egyesítéseként.
11. Bizonyítsuk be, hogy az $\mathcal{A}=\{\underline{a}_i\colon i\in I\}$ vektorhalmaz generátuma megegyezik a $V$ vektortér legszűkebb $\mathcal{A}$-t tartalmazó alterével.
12. Legyen $\underline{a},\underline{b},\underline{c}$ egy vektortér lineárisan független vektorhármasa. Lineárisan független-e ebben a térben $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{a}+\underline{c}$, és $\underline{b}+\underline{c}$?
13. Legyen $\underline{a},\underline{b},\underline{c}$ egy vektortér lineárisan független vektorhármasa, $\lambda$ egy skalár. A $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{a}-\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{b}-\lambda\underline{c}$ vektorhármas a $\lambda$ paraméter mely értékeire lesz lineárisan összefüggő, illetve lineárisan független?
14. Bizonyítsuk be, hogy ha a $V$ vektortérben az $\{\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots ,\underline{a}_k\}$ lineárisan független rendszer, $\{\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots ,\underline{b}_{k+1}\}$ pedig lineárisan összefüggő vektorrendszer, akkor a kettő közül pontosan az egyik bázis.
15. Milyen $p$-re van benne az (1,3,5) vektor a (1,1,0), (0,0,1), $(1,p,1)$ vektorok által generált altérben?
16. Milyen $a$-ra van megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
    

    $$x+az = 3$$

    $$y+z = 5$$

    $$x+z = 1$$

    
    

17. Adjuk meg $p$ és $q$ értékét úgy, hogy az alábbi síkok egy egyenesre illeszkedjenek.
    

    $$2x+3y-z = 6$$

    $$x-3y+2z = 5$$

    $$4x-3y+pz = q$$

    
    

18. Létezik-e olyan egyenes, amelyik az alábbi három sík mindegyikével párhuzamos? Ha igen, adjuk meg közülük az origón átmenőt.
    

    $$2x+4y+3z = 1$$

    $$x+7y+4z = 3$$

    $$3x-5y-z = 2$$

    
    

19. (*) Tekintsük az összes valós számon értelmezett valós értékű függvényeket a racionális számok feletti vektortérként, a szokásos műveletekre. Legyen ebben $H$ az egész értékű függvények halmaza. Döntsük el, hogy az alábbi függvények elemei-e a $H$ által generált $\langle H\rangle$ altérnek.
    1. $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{5}{7},&\textrm{ ha }x\... ...ac{3}{8},&\textrm{ ha }x\not\in\mathbb{Q}. \end{array}\right.$$
    2. $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x},&\textrm{ ha }x\in\mathbb{N};\\ 0,& \textrm{ egyébként}. \end{array}\right.$$
20. (*) Tekintsük a valós számokat a racionális számok feletti vektortérként, a szokásos műveletekkel. Bizoyítsuk be, hogy különböző prímszámok rögzített alapú logaritmusai mindig lineárisan függetlenek.
21. (*) Tekintsük a valós számokat a racionalis számok feletti vektortérként, a szokásos műveletekkel. Tegyük fel, hogy egy $\alpha$ valós szám pozitív egész kitevőjű hatványai $k$ dimenziós alteret generálnak. Mekkora az a legkisebb $j$ fok, hogy az $\alpha$ szám egy $j$-d fokú egész együtthatós polinom gyöke?
22. (**) Legyen $V$ egy 100-dimenziós vektortér a valós számok felett. Hány olyan vektor létezik $V$-ben, melyek közül bármely 100 bázist alkot?
23. (**) A Fibonacci-számok sorozatát a

    $$f_0=f_1=1,\quad f_{i+1}=f_i+f_{i-1}, i=1,2,\dots$$ (1)

    
    
    rekurzióval definiáljuk. Adjunk explicit képletet $f_n$-re. Útmutatás: A (1)-t kielégítő valós számsorozatok vektorteret alkotnak.
24. Egy $V$ vektortér $\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots ,\underline{a}_k$ elemeiről tudjuk, hogy az $\underline{a}_i+\underline{a}_j$, $1\le i<j\le k$ vektorok bázis alkotnak $V$-ben. Mekkora lehet $V$ dimenziója?